浅析抛物线常见的点

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浅析抛物线常见的点

来源：作者：发布时间：2007-08-06

　　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象在平面直角坐标系中常见的点及相关规律有：

　　１、抛物线的顶点Ｍ（－ｂ２ａ，４ａｃ－ｂ２４ａ）．

　　２、抛物线与ｙ轴的交点Ｃ（０，ｃ）．分三种情况讨论：

　　①当ｃ＞０时，抛物线交于ｙ轴的正半轴．

　　②当ｃ＝０时，抛物线过原点Ｏ（０，０）．

　　③当ｃ＜０时，抛物线交于ｙ轴的负半轴．

　　３、当△＞０时，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有两个不相等的实数根ｘ１，ｘ２．此时，抛物线与ｘ轴有两个交点Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０）．由此可推得：

　　①ＡＢ＝｜ｘ１－ｘ２｜＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２√

　　或ＡＢ＝△√｜ａ｜

　　．

　　②关于线段ＯＡ、ＯＢ的关系式可转化为两根ｘ１，ｘ２的关系．分三种情况讨论：

　　Ⅰ．交点Ａ、Ｂ分别在ｘ轴的正、负半轴，设ＯＡ＞ＯＢ．由此可得：

　　∵ｘ１＞０，ｘ２＜０，ＯＡ＞ＯＢ

　　∴ＯＡ＝ｘ１，ＯＢ＝－ｘ２

　　∴ＯＡ＋ＯＢ＝ｘ１－ｘ２＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２√

　　ＯＡ－ＯＢ＝ｘ１－（－ｘ２）＝ｘ１＋ｘ２．

　　Ⅱ．交点Ａ、Ｂ都在ｘ轴的正半轴，设ＯＡ＞ＯＢ．由此可得：

　　∵ｘ１＞０，ｘ２＞０，ＯＡ＞ＯＢ

　　∴ＯＡ＝ｘ１，ＯＢ＝ｘ２

　　∴ＯＡ＋ＯＢ＝ｘ１＋ｘ２

　　ＯＡ－ＯＢ＝ｘ１－ｘ２＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２√

　　Ⅲ．交点Ａ、Ｂ都在ｘ轴的负半轴，设ＯＡ＞ＯＢ．由此可得：

　　∵ｘ１＜０，ｘ２＜０，ＯＡ＞ＯＢ

　　∴ＯＡ＝－ｘ１，ＯＢ＝－ｘ２

　　∴ＯＡ＋ＯＢ＝－ｘ１－ｘ２＝－（ｘ１＋ｘ２）

　　ＯＡ－ＯＢ＝－ｘ１－（－ｘ２）

　　＝ｘ２－ｘ１＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２√

　　４、点Ｄ是抛物线的对称轴与ｘ轴的交点．由此易得：

　　①点Ｄ的坐标（－ｂ２ａ

　　，０）或（ｘ１＋ｘ２２

　　，０）．

　　②由二次函数的对称性可知：点Ｄ是ＡＢ的中点．

　　上面共总结了五个点，可简称为“一顶点一中点三交点”，这些点有着非常紧密的联系，常相互转化．有些二次函数的综合题中，这些点还常构成特殊的三角形出现．下面试举一例．

　　例已知：抛物线ｙ＝１２ｘ２－３２ｍｘ－２ｍ交ｘ轴于Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０），交ｙ轴于Ｃ点，且ｘ１＜０＜ｘ２，（ＡＯ＋ＯＢ）２＝１２ＣＯ＋１．

　　（１）求抛物线的解析式．

　　（２）在ｘ轴的下方是否存在着抛物线上的点Ｐ，使∠ＡＰＢ为锐角，若存在，求出Ｐ点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．

　　（武汉市中考题）

　　解：（１）∵ｘ１＜０＜ｘ２

　　∴ＡＯ＝－ｘ１，ＯＢ＝ｘ２

　　∴ＡＯ＋ＯＢ＝ｘ２－ｘ１

　　又∵ｘ１＋ｘ２＝３ｍ，ｘ１ｘ２＝－４ｍ＜０∴ｍ＞０．

　　又∵Ｃ（０，－２ｍ）∴ＣＯ＝２ｍ

　　∵（ＡＯ＋ＯＢ）２＝１２ＣＯ＋１

　　∴（ｘ２－ｘ１）２＝１２×２ｍ＋１

　　即：（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝２４ｍ＋１，整理，得

　　９ｍ

　　２－８ｍ－１＝０，

　　解得ｍ１＝１，

　　ｍ２＝－１

　　９．

　　∵ｍ＞０，∴ｍ＝１．

　　∴抛物线的解析式为：ｙ＝１２ｘ２－３２ｘ－２．

　　（２）存在这样的Ｐ点，使∠ＡＰＢ为锐角．

　　由１２ｘ２－３２ｘ－２＝０，

　　得ｘ１＝－１，ｘ２＝４．

　　∴Ａ（－１，０），Ｂ（４，０），

　　而Ｃ（０，－２）．

　　如图，连结ＡＣ、ＢＣ

　　∴ＡＣ２＝５，ＢＣ２＝２０，ＡＢ２＝２５．

　　∴△ＡＢＣ为直角三角形．

　　过Ａ、Ｂ、Ｃ三点作⊙Ｏ１，则ＡＢ为⊙Ｏ１的直径．

　　∵⊙Ｏ１与抛物线都关于直线ｘ＝３２对称．

　　∴点Ｃ关于直线ｘ＝３２的对称点Ｍ是⊙Ｏ１与抛物线的另一个交点．

　　∴Ｍ（３，－２）．

　　设Ｐ点的横坐标为ｘ０，当０＜ｘ０＜３时，点Ｐ在⊙Ｏ１外．

　　连结ＰＡ交⊙Ｏ１于点Ｑ，连结ＱＢ、ＢＰ．

　　而∠ＡＰＢ＜∠ＡＱＢ＝９０°，故∠ＡＰＢ为锐角．

　　同理，当－１＜ｘ０＜０，或３＜ｘ０＜４时，有∠ＡＰＢ为钝角．

　　故ｘ０的范围是０＜ｘ０＜３．

　　评析：（１）此题出现了总结的“三交点”，由总结的规律，易把ＡＯ＋ＯＢ，ＣＯ用ｍ的代数式表示，再代入已知条件（ＡＯ＋ＯＢ）２＝１２ＣＯ＋１，从而建立了关于ｍ的方程，求出ｍ，便可得到抛物线的解析式．

　　（２）由（１）的结论，易得“三交点”Ａ、Ｂ、Ｃ构成了直角三角形．显然Ｐ点应以Ｃ点为参照，再结合二次函数的对称性，可求得满足条件的Ｐ点的横坐标范围．

　　

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